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橢圓積分在理論力學中的應用

 論文欄目:基礎教育    更新時間:2018-04-16 14:54   

【摘 要】橢圓積分表達形式優美而簡練,是開展力學、物理理論研究的重要工具之一。在理論力學、大學物理等本科課程中也存在很多問題可用橢圓積分進行精確求解。其中大學物理相關實例已有大學物理教育工作者對其進行了總結。而對于理論力學中的相關實例,其精確解答多出現在分析力學、非線性動力學等專著中,在理論力學教材中卻鮮有討論。本文對理論力學教材中涉及橢圓積分的相關動力學問題進行了系統總結,并利用橢圓積分給出了相應的解析解。然后從橢圓積分定義出發,給出了一類可用橢圓積分表示的動力學方程。這一總結有助于我們深刻認識這些動力學模型的物理本質,同時也為理論力學課程開展研究性學習提供有益參考,并且激發學生進行科學探索的好奇心。 
  【關鍵詞】橢圓積分;單擺;復擺;圓輪滾動;直桿滑落 
  中圖分類號: O411 文獻標識碼: A 文章編號:2095-2457(2018)04-0022-003 
  Applications of Elliptic Integrals in Theoretical Mechanics 
  ZHANG Cun1 LIU Jian-lin2 Chen Li-ming3 
  (1.Department of Engineering Mechanics, Shijiazhuang Tiedao University, 050043 Shijiazhuang, China; 
  2.College of Pipeline and Civil Engineering, China University of Petroleum (East China), 266580 Qingdao, China; 
  3.College of Aerospace Engineering, Chongqing University, 400030 Chongqing, China) 
  【Abstract】Elliptical integrals are very useful in the theoretical study of mechanics and physics. In fact, many problems in the undergraduate courses "theoretical mechanics", can be solved analytically using elliptical integrals. In this paper, these cases have been summarized, whose solutions are expressed with elliptical integrals. Meanwhile, a type of typical dynamics systems are discussed, whose solutions can be described using elliptical integrals. This study may be helpful in understanding the physical nature of these above nonlinear dynamics systems, and could be used as teaching materials for the inquiry-based learning in theoretical mechanics. 
  【Key words】Elliptical integral; Simple pendulum; Compound pendulum; Cylinder rolling on a cylindrical surface; Falling rod 
  0 前言 
  橢圓積分是一類重要的特殊函數,其結構簡練、優美,因而在力學、物理等領域中得到了廣泛應用,受到很多學者的青睞[1-3]。例如材料力學中細長桿發生彈性大變形的形貌[4-6]、表界面力學中固體表面上液滴的輪廓形狀[4-7]、非線性動力學中彈簧振子的非線性振動[8],以及電磁學[9]等各類問題中都成功應用了橢圓積分。本文作者也利用橢圓積分開展了一系列關于表界面力學方面的研究工作,主要包括:劉建林等人給出了單根碳納米管在范德華力作用下截面的坍塌形貌[6]、張存等人給出了粘附碳納米管的半坍塌構型以及坍塌構型[5];劉建林等人給出了懸臂梁發生大變形粘附時的構型[4];劉建林等人給出了固體表面上液滴的輪廓形狀的解析解[1]。 
  除了上述問題,在動力學中也存在大量與橢圓積分相關的問題。例如對于單擺擺動這一經典問題,在當前通用的理論力學和大學物理等教材中均直接假定其振動幅度為小擺角,然后采用線性化的假設就可以得到以三角函數表示的周期解。而實際工程中,很多單擺將會發生大幅度振動,目前對于單擺具有大擺角時的研究則很少見諸報道,故而通用教材中鮮有涉及。該問題實際上可以用橢圓積分給出精確解答;另外,在理論力學中還存在其它可用橢圓積分求解的算例,涉及到很多動力學問題。由于橢圓積分形式簡單,可以代替冗長的數值結果或者級數表達式,因此從科學方法論的角度來講,在教學中引入它可以使問題的解答變得簡單明了。從課堂教學效果的角度來看,橢圓積分使得這些動力學問題的解答變得完備,可以大大拓寬學生的知識面,有助于培養學生宏觀把握問題、全面思考問題、正確解決問題的能力。 
  有鑒于此,全面梳理這些從不同角度提出的問題,然后統一從橢圓積分形式角度展示其核心脈絡,已經勢在必行。故此,本文針對理論力學教材中出現的一些涉及橢圓積分的動力學問題進行了分析總結,并給出了利用橢圓積分表示的精確解答,并揭示其內在統一性。 
  1 應用舉例 
  1.1 單擺問題
 第一個例子就是單擺問題,它也是大學物理及理論力學中經常討論的一個經典問題。但是,在一般教科書中通常只討論單擺發生小擺角振動情況下的解答,而很少討論其大幅度振動。如圖1所示,設單擺的長度為l,端部小球質量為m;初始時刻小球速度為零,擺角為θ0(0<θ0<π/2)。將小球看作質點,由機械能守恒得 
  m(l)-mglcosθ=-mglcosθ(1) 
  兩邊對式(1)進行求導,可以得到相應的微分方程為 
  +sinθ=0(2) 
  其中=,=。 
  很顯然,當θ很小時,sinθ≈θ,該問題的解答為 
  θ=θ0cosω0t 
  其中θ0為振幅,ω0=為角頻率。顯然,單擺振動周期為T0=2π。 
  對于大擺角情況,在周培源先生編著的《理論力學》教材[12]中有詳細的討論。該問題可以將時間 表示為轉角 的積分形式: 
  t=?蘩(3) 
  其中轉角的取值范圍為-θ≤θ≤θ0。由該問題的對稱性,本文只考慮0≤θ≤θ0的情況(下同)。 
  引入變換k=sin>0以及sin=ksinφ(0≤φ≤),則式變為 
  t=?蘩=[F(k,)-F(k,φ)](4) 
  其中F(k,φ)=?蘩dφ為第一類不完全橢圓積分。 
  因此,大擺角單擺的振動周期為 
  T=4K(k)(5) 
  其中K(k)=F(k,)為第一類完全橢圓積分,下同。 
  1.2 復擺問題 
  圖2所示復擺(或稱物理擺),其質量為m,質心為點C,擺對懸掛點O的轉動慣量為Jo。設初始時刻該復擺角速度為零,擺角為θ0(0<θ0<π/2)。則利用橢圓積分,可以求得該擺的擺動周期。 
  利用剛體繞定軸轉動的微分方程,可得該物理擺的轉動微分方程: 
  +sinθ=0(6) 
  與方程及其解答進行對比可知,復擺的周期為 
  T=4K(sin)(7) 
  1.3 圓輪純滾動問題 
  如圖3所示,一均質圓輪半徑為r,質量為m,在半徑為R的圓弧上往復滾動。設表面足夠粗糙,圓輪做純滾動。設初始時刻圓輪角速度為零,擺角為θ0,則可以求得圓輪質心的運動方程。 
  由機械能守恒定律,有 
  JCω+mv-mg(R-r)cosθ=-mg(R-r)cosθ 
  將JC=mr2、vC=-(R-r)、ωC==-代入上式并整理,得 
  +sinθ=0(8) 
  與方程及其解答進行比較可知,圓輪純滾動的周期為 
  T=4K(sin)(9) 
  1.4 直桿滑落問題 
  如圖4所示,均質細桿AB長為2l,質量為m、相對質心的轉動慣量為JC=ml2,上端A沿墻壁向下滑,下端B沿地板向右滑,不計摩擦。初始時刻直桿角速度為零,與墻面的夾角為θ0。類似地,也可求出脫離墻面之前桿的運動方程。 
  由機械能守恒,有 
  m(l)+JC+mglcosθ=mglcosθ(10) 
  相應的微分方程為 
  -sinθ=0(θ≤θ≤)(11) 
  對比方程及其解答可知,該問題的解答為 
  t=?蘩(12) 
  這里需要注意的是,轉角θ的取值范圍為θ0≤θ≤,因此有cosθ0≥cosθ。 
  引入變換cos=cossinφ(0<φ≤),k=cos>0,則解答可用橢圓積分表示為 
  t=?蘩 
  =[F(k,)-F(k,φ)](13) 
  1.5 討論 
  上面列舉的幾個典型動力學問題,其解答均可以用橢圓積分表示。對于一個一般性的動力學問題,如何才能判斷它是否能夠用橢圓積分來表達呢?在這里,我們嘗試從橢圓積分的定義出發給出一些判據。 
  對于保守系統,由機械能守恒得 
  2+V(u)=E0(14) 
  其中u為廣義坐標,=,=,2為廣義動能,V(u)=?蘩f(u)du為廣義勢能,E0為系統的總機械能。 
  對上式兩邊進行時間的求導運算,則與之對應的微分方程為 
  +f(u)=0或=-f(u)(15) 
  方程可以通過兩邊乘以dt=du并積分得到: 
  ?蘩dt=?蘩d=?蘩f(u)dt=-?蘩f(u)du 
  對式進一步積分,得 
  t-t0=?蘩(16) 
  由橢圓積分的定義[10],當勢能函數 是 的三次或四次多項式(等價地,函數 為 的二次或三次多項式)時,該問題可用橢圓積分表示。顯然,無阻尼無驅動的杜芬方程 便屬于該種情況。該微分方程的精確解答可表示為 
  t-t0=?蘩(17) 
  對于如何將此式表達為橢圓積分超出了本文的討論范圍,感興趣的讀者可參閱文獻[13]。 
  在本文所舉算例中,令u=sinθ,則有 
  t-t0=?蘩 
  =?蘩(18) 
  可以驗證這些算例(1-u2)[EO-V(u)]均為u的三次或四次多項式,因此可以用橢圓積分表示。 
  通過上述討論可知,若動力學系統為保守系統,且其廣義勢能可表示為自變量的三次或四次多項式,或者其廣義勢能可表示為自變量正弦或余弦的一次或二次多項式,則該問題可用橢圓積分表示。 
  2 結論 
  本文對理論力學教材中可用橢圓積分求解的動力學問題進行了較為全面的總結,并利用橢圓積分給出了相應的解析解。最后,給出了一類解答可用橢圓積分表示的普遍動力學方程。本文工作有助于我們深刻認識這些動力學模型的物理本質,激發學生的探索欲望,同時也為理論力學研究性教學提供有益參考。
 【參考文獻】 
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  [4]J.Liu. Analogies between a Meniscus and a Cantilever[J].Chinese Physics Letters,2009,26,116803. 
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  [6]J.Liu,R.Xia.A unified analysis of a micro-beam,droplet and CNT ring adhered on a substrate:Calculation of variation with movable boundaries[J].Acta Mechanica Sinica,2013,29,62. 
  [7]B.Roman,J.Bico.Elasto-capillarity: deforming an elastic structure with a liquid droplet[J].J Phys Condens Matter, 2010, 22, 493101. 
  [8]劉延柱.非線性振動[M].北京:高等教育出版社,2001. 
  [9]張之翔.電磁學中幾個簡單問題里的橢圓積分[J].大學物理,2002,21,22. 
  [10] 王竹溪,郭敦仁.特殊函數概論[M].北京:北京大學出版社,2012. 
  [11]哈爾濱工業大學理論力學教研室.理論力學I(第7版)[M].北京:高等教育出版社,2009. 
  [12]周培源.理論力學[M].北京:科學出版社,2012. 
  [13]A.H.Salas,J.E.Castillo H. Exact solution to Duffing equation and the pendulum equation[J].Applied Mathematical Sciences,2014,8,8781.

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